Vectores en el espacio

Componentes de un vector en el espacio

Módulo de un vector

Distancia entre dos puntos

Vector unitario

Suma de vectores

Producto de un número real por un vector

Vectores linealmente dependientes

Vectores linealmente independientes

Producto escalar

Expresión analítica del módulo de un vector

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Vectores ortogonales

Proyección

Cosenos directores

Producto vectorial

Área del paralelogramo

Área de un triángulo

Producto mixto

Volumen del paralelepípedo

Volumen de un tetraedro

Puntos

Coordenadas del punto medio de un segmento

Coordenadas del baricentro de un triángulo

Puntos alineados

Tres o más puntos están alineados si están en una misma recta, y por tanto el rango de los vectores determinados por ellos es 1.

Puntos coplanarios

Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2.

Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios.

Ecuación vectorial de la recta

Sea P(x1, y1) es un punto de la recta r y

su vector director, el vector tiene igual dirección que

, luego es igual a multiplicado por un escalar:

Ecuaciones paramétricas de la recta

Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

Ecuaciones continuas de la recta

Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas. Ejemplos 1.- Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es

2.-Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1).

Distancia de un punto a una recta

En Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese punto y un punto de una línea o recta.

Sean A un punto y D una recta.
Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de D.

d(A,D)=minM∈D||A−M||

Para una recta D definida por su ecuación reducida y=a⋅x+b y siendo A un punto de la forma A=(xA,yA)

d(A,D)=|a⋅xA−yA+b|a2+1−−−−−√

Obsérvese que

D={(x,y)|y=a⋅x+b}

La distancia mínima se ubica en la proyección ortogonal del punto M sobre D, es decir el punto M' de la recta D tal que (MM') sea perpendicular a ella. En efecto, si se toma otro punto cualquiera B de D, entonces en el triángulo rectángulo MM'B, la hipotenusa MB es más larga que el cateto MM'. Geométricamente, se construye el punto proyectado M' deslizando una escuadra sobre una regla que sigue la recta D hasta encontrar el punto M; luego se mide la longitud MM'.

El punto M se proyecta como M' sobre la recta D.

Para calcular esta distancia, es aconsejable utilizar un sistema de coordenadas ortogonales -

(O,i⃗ ,j⃗ ) en la figura. La recta y el punto cuya distancia se quiere medir son definidos por su ecuación cartesiana y sus coordenadas respectivamente:

D:a⋅x+b⋅y+c=0; y

M=(xy)
Si en la ecuación de la recta D variamos sólo el valor del parámetro "c" obtendremos una familia de rectas paralelas. De manera que para determinar un vector perpendicular podemos tomar c = 0. Así, los vectores sobre la recta tendrán la forma

(−by/ay)=y(−b/a1), que puede simplificarse a

(−ba)

Busquemos un vector normal a

v⃗ (es decir, perpendicular a la recta), que deberá cumplir que el producto escalar

u⃗ ⋅v⃗ =0, y resulta ser

u⃗ =(ab) (de ahí el interés de la ecuación cartesiana) y al dividirlo por su norma se obtiene el vector normado

w⃗ =⎛⎝⎜aa2+b2√ba2+b2√⎞⎠⎟ que define una medida algebraica sobre la recta (M'M):

M′M¯=M′M→⋅w⃗
La distancia MM' es el valor absoluto de la medida algebraica:

M′M=|M′M¯|=|M′M→⋅w⃗ |=|(x−x′y−y′)⋅⎛⎝⎜aa2+b2√ba2+b2√⎞⎠⎟|=|a(x−x′)+b(y−y′)|a2+b2√
Como M' pertenece a D, sus coordenadas verifican a·x' + b·y' = -c luego lo anterior se simplifica así:

M′M=|ax−ax′+by−by′|a2+b2√=|ax+by−ax′−by′|a2+b2√=|ax+by+c|a2+b2√

En conclusión: La distancia entre M y (D) es:

d(M,D)=|a⋅x+b⋅y+c|a2+b2−−−−−−√

Esta fórmula es muy fácil de recordar: Se divide la expresión de la recta por la norma del vector y se pone el valor absoluto porque una distancia es siempre positiva.

En el caso que la recta sea dada por el ángulo (θ) que hace con el eje de las abscisas y su ordenada al origen (b), la fórmula se simplifica:

D: y = (tan θ) ·x + b se pone en forma cartesiana: (sin θ)·x - (cos θ)·y + b·cos θ = 0, luego, sabiendo que el vector

u⃗ (sen θcosθ) es unitario:

d(M,D)=|(sen θ)⋅x−(cosθ)⋅y+b⋅cosθ|

Ejemplo: la primera diagonal del sistema de referencia corresponde a un ángulo

θ=π4 y b = 0. Como

cosπ4=sen π4=2√2, se obtiene:

d(M,D)=2√2⋅|x−y|

En el caso de una recta definida por su ecuación reducida y = a·x + b; la ecuación cartesiana es a·x - y + b = 0 y la distancia a ella es:

d(M,D)=|a⋅x−y+b|a2+1−−−−−√

Ejemplo: Tomando a = 1 y b = 0, se obtiene de nuevo el resultado del ejemplo anterior.

Se calcula de la misma manera la distancia de un punto y un plano en el espacio tridimensional: Si la ecuación del plano es

D:a⋅x+b⋅y+c⋅z+d=0; y el punto es

M=⎛⎝x0y0z0⎞⎠, entonces:

d(M,D)=|a⋅x0+b⋅y0+c⋅z0+d|a2+b2+c2−−−−−−−−−−√

Lo anterior se generaliza a los espacios de dimensión finita n, y la distancia entre un punto y un hiperplano (subespacio de dimensión n-1), añadiendo cuantas variables hagan falta.

Ángulo entre dos rectas

El ángulo entre dos rectas $r$ y $s$ del espacio es el menor

angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar $r$ y

en un mismo plano paralelo a ambas rectas. Las rectas se

proyectan en un mismo plano porque, en general, no tienen

porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque

ser coplanarias ).

Dos rectas en el plano forman dos ángulos, uno menor,

llamemos los, por ejemplo, $\alpha$ , y otro mayor ( o igual ), que

seria el suplementario de , .

$\alpha$

$180 - \alpha$

$s$

El ángulo entre dos rectas $r$ y $s$ cuyos vectores directores

son, respectivamente, $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ , se puede calcular con la

siguiente fórmula:

$\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}}$

Calculando el arco coseno del resultado obtenido aplicando

la fórmula anterior se obtiene el ángulo que forman las retas

$r$ y $s$ .

Ejemplo

Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones

$r: \left\{ <pre> \begin{array}{ll} 0 = & x - 2y + 3z \\ 0 = & 2x - y + 4 \end{array} </pre> \right.$

$s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t \cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)$

La recta $r$ viene dada como la intersección de dos planos ( el

plano $\pi_1$ de ecuación $ <pre> 0 = x - 2y + 3z </pre> $ y el plano $\pi_2$ de ecuación $0 = 2x - y + 4$ ).

Un vector director $\mathbf{u}$ de la recta $s$ es el vector que multiplica al

parámetro $t$ en su ecuación, es decir:

$\mathbf{u} = \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)$

Podemos obtener un vector director $\mathbf{v}$ de la recta $r$

multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al

plano $\pi_1$ por un vector perpendicular al plano $\pi_2$ .

Un vector $\mathbf{n}_1$ perpendicular al plano $\pi_1$ lo podemos obtener de

los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano $\pi_1$ :

$\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)$

De la misma forma obtenemos un vector $\mathbf{n}_2$ perpendicular al

plano $\pi_2$ :

$\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)$

El producto vectorial de ambos vectores, $\mathbf{n}_1$ y $\mathbf{n}_2$ es

$\mathbf{v} = \left| <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> \right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)$

El ángulo que forman las rectas $r$ y $s$ es, por tanto

$\mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| <pre> \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) \, \right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \, \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 + 3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6} </pre> $

Planos en el espacio tridimensional.

Ecuación vectorial, normal y cartesiana

Así como una recta esta determinada por dos puntos distintos, un plano está determinado por tres puntos no colineales.
Una manera muy conveniente de obtener una ecuación del plano $\Pi$ en $I\!\!R^3$ que pasa por los puntos $P,\; Q,\;$ $\;R$ , es observar que los puntos $(x,y,z) \in \Pi \;$ tienen la propiedad

$\begin{displaymath}[(x,y,z)-P]\cdot \left( \overrightarrow{QP} \times \overrightarrow{RP} \right) = 0 \end{displaymath}$

Esta ecuación es una ecuación normal de $\Pi$

Figura 30.

Si ponemos $\overrightarrow{N}\,=\,\overrightarrow{QP} \times \overrightarrow{RP}\,=\,(a,b,c)$ y desarrollamos la ecuación anterior, obtenemos una ecuación cartesiana de $\Pi$

$\begin{displaymath}a\,x +b\,y +c\,z = \overrightarrow{N} \cdot P \end{displaymath}$

Finalmente, podemos observar que si

está en $\Pi$ , entonces

$\begin{displaymath}(x,y,z) = P+ t\,\overrightarrow{QP}+ s\,\overrightarrow{RP}; \; \; \; t,s \in I\!\!R \end{displaymath}$

Esta es una ecuación vectorial de $\Pi$ .

Figura 31.

Figura 32.

Ecuación vectorial

Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.

Para que el punto P pertenezca al plano π el vector

tiene que ser coplanario con

Ecuaciones paramétricas del plano ecuación vectorial de plano

Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

Ecuación general o implícita del plano

Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

Desarrollamos el determinante.

Damos los valores:

Sustituimos:

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

Obtenemos la ecuación general de plano:

Vector normal

El vector

es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.

Si P(x₀, y₀, z₀) es un punto del plano, el vector

es perpendicular al vector

, y por tanto el producto escalar es cero.

De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:

Distancia de un punto a un plano

Ejemplo

Distancia entre planos paralelos

Ejemplo

Distancia entre rectas que se cruzan

Ejemplo

Angulo entre dos planos

El producto escalar nos permite determinar el ángulo entre dos vectores u y v.

u⋅v=u⋅v⋅cosθu⋅v=uxvx+uyvy+uzvzcosθ=u⋅vu⋅v

Si n₁ y n₂ son los vectores perpendiculares a cada uno de los dos planos, el ángulo θ entre estos dos vectores es el mismo que el ángulo entre los dos planos. El ángulo entre los dos planos se calcula mediante la siguiente fórmula.

Angulo entre una recta y un plano

Sea n un vector perpendicular al plano y sea u un vector cuya dirección es la recta. El ángulo entre el plano y la recta es el complementario al ángulo entre los vectores n y u.

ax+by+cz=d n=aiˆ+bjˆ+ckˆ⎧⎩⎨⎪⎪x=x0+tuxy=y0+tuyz=z0+tuzcos(π2−θ)=∣∣n⋅un⋅u∣∣

a1x+b1y+c1z=d1 n1=a1iˆ+b1jˆ+c1kˆa2x+b2y+c2z=d2 n2=a2iˆ+b2jˆ+c2kˆcosθ=∣∣∣n1⋅n2n1⋅n2∣∣

Distancia de un plano al origen

Queremos calcular la distancia h del origen O al plano de ecuación ax+by+cz=d. Tomemos un punto P (x,y,z) del plano,

La distanacia h del origen al plano (segmento en color rojo) es la proyección del vector u=xi+yj+zk a lo largo de la dirección del vector unitario n normal al plano, tal como apreciamos en la figura

h=nˆ⋅u=aa2+b2+c2−−−−−−−−−−√x+ba2+b2+c2−−−−−−−−−−√y+ca2+b2+c2−−−−−−−−−−√z=da2+b2+c2−−−−−−−−−−√

Distancia de un punto a un plano

La distancia h del punto A (x₁,y₁,z₁) al plano de ecuación ax+by+cz=d (segmento en color rojo), es la diferencia entre la proyección del vector u a lo largo de la dirección n, (segmento OQ) y la distancia del origen a dicho plano,

Haz de planos

Volvemos de nuevo a los conceptos geométricos, donde resaltaremos en este caso la posición relativa de dos planos. Ya hablamos unos días atrás del haz de rectas, hoy es la ocasión de hablar del haz de planos. Al igual que en el caso de las rectas, estudiaremos el haz de planos paralelos y por otro lado el haz de planos que pasan por una recta.

HAZ DE PLANOS PARALELOS
Si en la expresión de un plano cualquiera π: Ax+By+Cz+D=0 se fijan los coeficientes de A, B y C dejando variar D, la nueva expresión Ax+By+Cz+D’=0 representa un conjunto de planos denominado haz de planos paralelos.
Observación: Para determinar el plano del haz que pasa por un punto dado P(x0,y0,z0), hay que sustituir las coordenadas del punto en la ecuación del haz, y hallar el punto D’ que satisfaga la ecuación. Sustituyendo en la ecuación del haz por el D’ correspondiente se obtiene el plano pedido.

Ejemplo: a) Hallar la ecuación del haz de planos paralelos al plano π: 3x-y+z-3=0.
b) Hallar el plano perteneciente al haz anterior que pasa por el punto P(1,2,1).
a) El haz de de planos paralelos al plano dado es 3x-y+z+D’=0.
b) Sustituyendo en la ecuación del haz el punto dado obtenemos el valor de D': 3∙1-2+1+D’=0 → D’= -2. Por tanto la ecuación del plano del haz que pasa por el punto P es: π': 3x-y+z-2=0.

HAZ DE PLANOS QUE PASAN POR UNA RECTA

Llamamos haz de planos de arista una recta r dada, al conjunto de los planos que contienen a dicha recta r. Es decir, es la recta donde cortan los planos como podemos ver en la siguiente imagen.
Supongamos que una recta viene dada por su ecuación implícita:

Hemos visto que para un plano π: A”x+B”y+C”z+D”=0 contenga a la recta r debe cumplirse que el rango de la matriz formada por las filas (A,B,C), (A’,B’,C’) (A”,B”,C”) tiene que coincidir con el rango de la matriz ampliada, formada por las filas (A,B,C,D), (A’,B’C’,D’) y la fila (A”,B”,C”,D”), este rango es 2. Por tanto, (A”,B”,C”,D”) es combinación lineal de los otros dos vectores. De esta manera obtenemos el haz de planos de arista la recta r: (Ax+By+Cz+D)+λ(A’x+B’y+C’z+D’)=0, con λ una constante real no nula.

Ejemplo: a) Halla la ecuación del haz de planos que contiene a la recta

b) Hallar la ecuación del plano correspondiente al haz anterior que pasa por el punto P(3,2,-3).
a) La ecuación del haz es: (2x+3y-z-9)+ λ(-x+2y+3z+2)=0.
b) Sustituyendo el punto en la ecuación del haz el punto, obtenemos que λ=1. Sustituyendo este valor en la ecuación del haz obtenemos el plano pedido: π: 2x+3y-z-9-x+2y+3z+2=0 → π: x+5y+2z-7=0.

Ecuaciones de la esfera

Ecuación cartesiana

En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano tridimensional, la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1), con centro en el origen, es:

$x^2 + y^2 + z^2 = 1\,$

Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1.

Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\,$

La ecuación del plano tangente en el punto M

(x', y', z')

se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:

$x \cdot x' + y \cdot y' + z \cdot z' = 0\,$

y en el segundo ejemplo:

$(x - a) \cdot x' + (y - b) \cdot y' + (z - c) \cdot z' = 0\,$

Ecuación paramétrica

En un espacio euclidiano tridimensional, los puntos de la superficie esférica pueden ser parametrizados de la siguiente manera:

\, x = x_0 + r \cos \theta \; \sin \varphi

\, y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \varphi \qquad (0 \leq \theta \leq 2\pi \mbox{ , } 0 \leq \varphi \leq \pi ) \,

\, z = z_0 + r \cos \varphi \,

donde r es el radio, (x0, y0, z0) son las coordenadas del centro y (θ, φ) son los parámetros angulares de la ecuación.

Secciones

Un círculo máximo divide la esfera en dos hemisferios iguales.

Sección de una esfera por un plano.

La intersección de un plano y una esfera siempre es una circunferencia. La esfera es el único cuerpo que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de la intersección).

Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo.

Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:

r' = \sqrt{r^2 - d^2}

Intersección de esferas.

Por otra parte, dos esferas se intersecan si:

d \le r + r'

r - r' \le d

(son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir, si existe un triángulo con lados que midan r, r' y d, donded es la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios.

En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un punto, que equivale a una circunferencia de radio cero.

En general, el radio es:

\frac 2 d \sqrt{m(m-r)(m-r')(m-d)} \quad \mbox{ con } \quad m = \frac {r+r'+d} 2

el medio perímetro.

Planos en el un punto de superficie esférica

Plano tangente

El plano que toca a la esfera en un solo punto es llamado plano tangente. Cada punto de la esfera tiene asociado un plano tangente. Para la esfera los puntos antipodales tiene planos tangente paralelos.

Es el plano cuya distancia al centro de la esfera es igual a la longitud del radio. O bien la posición límite de los planos secantes de la esfera cuando su distancia al centro tiende a la longitud del radio. Dicho plano es único y siempre existe, dado un punto

P=(x_0,y_0,z_0)

de una esfera de radio de radio R el plano tangente viene dao por:

$x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)+z_0(z-0) = 0\,$

Plano normal

Sin información.

Plano binormal

Es el plano perpendicular tanto al plano tangente como al plano normal.

Coordenadas sobre la esfera

Para localizar un punto de la superficie esférica, las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, por varias razones: en primer lugar, porque hay tres coordenadas cartesianas, mientras que la superficie esférica es un espacio bidimensional. En segundo lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más adecuado que las coordenadas ortogonales.

Los dos orígenes ortogonales de las coordenadas esféricas

Se elige un ecuador y un punto del mismo como origen de los ángulos horizontales; se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo φ; se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador –llamados polos– para definir el signo del ángulo θ

Determinación de los puntos mediante ángulos

Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Con el valor de un ángulo sobre el plano horizontal (plano del ecuador) y otro vertical (desde un polo), se puede localizar cualquier punto de la esfera.

En geometría, normalmente, se expresan estos ángulos en radianes (pues permite calcular longitudes de arcos de circunferencia), mientras que en geografía se usan los grados sexagesimales o centesimales: en este caso, θ es la latitud del punto y φ su longitud si se toma un origen en el punto del ecuador del meridiano de Greenwich y el otro origen en el polo norte. Las latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y las longitudes positivas al hemisferio Este.

Introducir un tercer parámetro r permite localizar cualquier punto del espacio con las coordenadas esféricas (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un intervalo semi-abierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π, entonces, cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas, salvo los del eje vertical, donde sirve cualquier valor de φ.

Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas esféricas (r, φ, θ) serán: