Febrero

INTEGRALES DE LINEA DE  CAMPOS VECTORIALES


En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre 
una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama 
también integral de contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
  • el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
  • o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Definición

Integral curvilínea de un campo escalar


\int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\|\, dt = \int_a^b f(\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))\sqrt{[\mathbf{x}'(t)]^2+[\mathbf{y}'(t)]^2 }dt

Para f : R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de 
trayectoria), parametrizada comor(t)=x(t)i+y(t)j con t \in [a, b], está definida como:
donde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y
 r(b) son los puntos finales de C. Las integrales de trayectoria son independientes de la 
parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de 
la dirección de la parametrización r(t).

Integral curvilínea de un campo vectorial

Para F : Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) 
con t \in [a, b], está definida como:
\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.
donde \cdot es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y 
cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de 
elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo 
campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.
Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que
\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,d\mathbf{x} = \int_C \mathbf{F}_1 dx^1+\mathbf{F}_2 dx^2+\cdots+\mathbf{F}_n dx^n
donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par (C,\mathbf{\omega}) donde
\mathbf{\omega}=\mathbf{F}_1 dx^1+\mathbf{F}_2 dx^2+\cdots+\mathbf{F}_n dx^n
es una 1-forma.

Independencia de la curva de integración

Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es 
conservativo), esto es:
\nabla G = \mathbf{F},
entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:
\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)
con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:
\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,d\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).
La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es 
independiente del camino entre a y b.
Por esta razón, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es 
llamado independiente del camino o también conservativo. Cabe destacar que si tenemos un campo 
arbitrario; tal que, las derivadas parciales iteradas sean iguales y además sea convexo; entonces este
 campo es el gradiente de una función potencial φ. Y por lo mencionado anteriormente la integral de 
línea del campo es independiente del camino.




TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LINEA


Es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva.
En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también Integral de Contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
  • El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;
  • El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;
  • Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

El teorema fundamental del cálculo puede escribirse como:

\int_a^{b} F'(x) dx = F(b) - F(a)

donde  F'  es continua en (a,b). El teorema del cambio total también se llama ecuación 1, La integral de una razón de cambio es el cambio total.
Si pensamos que el valor gradiente  \nabla f  de una función  f  de dos ó tres variables es una especie de derivada de  f , entonces el teorema siguiente puede considerarse como una versión del Teorema Fundamental para las Integrales de Línea.
Teorema:
Sea una Curva C una curva suave dada por la función vectorial  r(t) a < t < b . Sea "f" una función derivable de dos ó tres variables, cuyo vector gradiente  \nabla f  es continuo sobre C.
Entonces:
\int_c \nabla f .dr = f(r(b)) - f(r(a))

El teorema nos dice que podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo ( el campo vectorial gradiente de la función potencial f) con solo conocer el valor de "f" en los extremos de C. De hecho el teorema nos expresa que la integral de línea de  \nabla f  es el cambio total de "f". Si "f" es una función de dos variables y C es una curva plana con punto inicial A(X1, Y1) y punto final B(X2 , Y2), entonces el teorema se convierte en:

\int_c \nabla f .dr = f(x_2,y_2) - f(x_1,y_1)

Si "f" es una función de tres variables y C es una curva en el espacio que une  A(x1,y1,z1) con  B(x2,y2xz2)  , entonces tenemos:
\int_c \nabla f .dr = f(x_2,y_2,z_2) - f(x_1,y_1,z_1)

Ejemplo 1

Demuestre que \vec{F}_{(x,y,z)}=(1+4x^3y^3)\hat{i}+3x^4y^2\hat{j} es conservativo
\frac{\partial P}{\partial y}=12x^3y^2
\frac{\partial Q}{\partial x}=12x^3y^2
Dado que las derivadas cruzadas son iguales el campo es conservativo. Ahora encontremos la función f que cumpla que el campo es igual al gradiente de f. Para esto integraremos P respecto de x, y Q respecto de y e igualaremos las funciones para encontrar la función f.
f_{(x,y)}=\int 1+4x^3y^3dx=x+x^4y^3+h_{(y)}
f_{(x,y)}=\int 3x^4y^2dy=x^4y^3+g_{(x)}
\therefore f_{(x,y)}=x^4y^3+x+c

Ejemplo 2

Demuestre que el campo es conservativo
\vec{F}_{(x,y)}=(x^2+y^2)\hat{i}+x\hat{j}
\frac{\partial P}{\partial y}=1
\frac{\partial Q}{\partial x}=2x
\therefore \vec{F}_{(x,y)}  no es conservativo

Ejemplo 3

Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas  f_{(x,y)}=\frac{1}{2}xy\hat{i}+\frac{1}{4}x^{2}\hat{j}  del punto  (0,0)  a  (1,1)

Verificamos si es el campo es conservativo.
\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{1}{2}x
\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{1}{2}x
con esto demostramos que si es conservativo.

Integramos con respecto a x y a y
f_{(x,y)}=\int \frac{1}{2}xy dx=\frac{1}{4}x^{2}y+h_{(y)}
f_{(x,y)}=\int \frac{1}{4}x^{2} dy=\frac{1}{4}x^{2}y+g_{(x)}
\therefore \vec{F}_{(x,y)} = \frac{1}{4}x^{2}y
Evaluamos en el punto inicial y final.
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = f(1,1)- f(0,0) = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}


INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA

Si A y B son dos puntos de una region que esta abierta en el espacio el trabajo, \int \vec{F}\cdot d\vec{r} realizado por un campo F que esta definido en D al mover una partícula que va desde el punto A hasta el punto B, depende por lo general de la trayectoria elegida. Sin embargo, para ciertos campos, el valor de la integral es el mismo para todas las trayectorias que van desde A hasta B.

Teorema #01

El \int_cF.dr es independiente de la trayectoria ssi \int_cF.dr = 0 para toda trayectoria\int_c

Teorema #02

Si \int_c F.dr= 0 entonces F es conservativo.

Teorema #03

Supongamos que F es un campo vectorial continuo en una región abierta D . Si \int_cF.dr es independiente de la trayectoria en D . \int_cF.dr  es un campo vectorial conservativo, es decir existe \nabla f=\vec{F}

Conservación de la Energía

Suponemos que F es conservativo ed. F = VF la energia potencial en un punto esta definida f(Q)=-P(Q) como f=-p así que tenemos F = -VP.

W =\int_cF.dr =\int_c -Vp.dr

W =-\left[P(r(b))-P(r(a))\right] por Teorema Fundamental de la Integral de Línea.

W = P(A)-P(B)

El teorema de Green

La fórmula que estudiaremos se debe a George Green (vea una pequeña biografía pinchando en el nombre, y verá que no es tan terriblemente malo no asistir a clases). Empezaremos por el final. La fórmula esencial del teorema de Green es como sigue:
               (1)
Y enseguida intentaremos explicar los diferentes elementos matemáticos involucrados. En primer lugar la relación entre R y C, es como lo indica la Figura 1.
C es una curva cerrada suave, descrita por la forma paramétrica r( t ). Y la región al interior de la curva es precisamente R.
Consideremos el campo vectorial
j ( x, y ) = L( x, y ) i + M( x , y ) j
de modo que esté bien definido en todo punto de R incluida la frontera C, y que sea continuamente diferenciable (esto es que las derivadas parciales no solo existan sino que además sean continuas).
Vamos a ver el significado de la primera integral de (1)
Figura 1
La primera integral es simplemente la integral de línea del campo vectorial j ( x, y ) sobre la curva cerrada C, esto es
toda vez que j ( x, y ) = L( x, y ) i + M( x , y ) j, y además dr = dx i + dy j.
De modo que lo primero que anuncia el trabajo de Green es que la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva cerrada en el plano es igual a una integral doble de una determinada función de dos variables sobre la región contenida al interior de la curva cerrada C. 
Nota importante: la orientación de la curva sigue la "regla del tornillo" o de orientación positiva, esto es en el sentido contrario a las manecillas de un reloj antiguo (no sirve reloj digital). 
Un aplicación importante de este resultado es el siguiente. Usted sabe que el área  de una región R como la de la Figura 1 está dada por la doble integral siguiente
              (2)
Luego esta integral en comparación con la segunda integral en (1) se consigue cuando L( x, y ) = 0 y M( x , y ) = x, de modo que tenemos un primer resultado
               (3)
Donde C es la curva, orientada positivamente, que rodea a la región R. De modo que, si la segunda integral de línea es sencilla, nos permitirá el cálculo de áreas sencillas.
Otra manera de conseguir una expresión para el cálculo del área de una región R como en la figura siguiente es haciendo, conforme a la expresión en (1),  L( x, y ) = - y , M( x , y ) = x. De esta forma obtenemos que
          (4)
La verdad es que hay divertidas maneras de calcular el área de una región R como la indicada por la Figura 1. En efecto, considere, como antes, que la frontera de R es la curva cerrada C, entonces calculemos la siguiente integral de línea
Aplicando la fórmula (1), tenemos que, en este caso,  L( x, y ) = 2y,  M( x , y ) = 3x, de modo que
y en consecuencia aplicando el teorema de Green, obtenemos
Desde el lado contrario, también puede ser usado. A veces el cálculo de una integral de línea puede ser tedioso, y resulta más sencillo utilizar la integral doble. Veamos el siguiente ejemplo.
Usemos al teorema de Green vara evaluar la integral
donde C es la frontera del cuadrado con vértices en los puntos (1, 0), (2, 0), (2, 1) y (1, 1), como se muestra en la Figura 2.
Identificamos las funciones componentes como
L( x, y ) = x - xy , M( x , y ) = y3 + 1
De modo que, obtenemos
Figura 2
y esta segunda integral doble es sencilla de resolver. En efecto
Esto es

ROTACIONAL Y DIVERGENCIA

Rotacional
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero (Ecuación 1).
(1)
Aquí, S es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a Sy orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus puntos.
El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la siguiente ecuación:
(2)
Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:
•  Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (f) =0
•  Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0
•  Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo  cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.


Divergencia

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero, para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación
(3)
donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S y es el operador nabla, que se clacula de la sigueinte forma:
(4)
La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o manantial. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo.
En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes y/o sumideros de ahí que una de sus propiedades sea que su divergencia es nula (ecuación 5).
(5)
Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen extremos donde nacen o mueren. De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno de ellos no sería nulo, lo cual denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo.

El teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia, conocido también como el Teorema de Gauss, establece una forma analítica del cálculo de la integral de un campo vectorial sobre una superficie como una simple integral de volumen. Específicamente el teorema de la divergencia dice que:
           (1)
donde S es una superficie cerrada cuyo interior contiene al volumen V, F es un campo vectorial arbitrario, y  es, como siempre, el vector unitario normal a la superficie. En esta sección nuestro objetivo será aplicar este teorema, dejando su demostración para más adelante. De momento podemos pensar que que el flujo de F a través de la superficie S es igual a la divergencia de F tomada a través del volumen V.
En la sección anterior habíamos evaluado (con cierta dificultad) la integral
donde S es la superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = a2, y  F = x3 i + y3 j + z3 k, y cuyo resultado fue 12pa5 / 5. Esta vez aplicaremos la fórmula dada en (1).
La divergencia de F = x3 i + y3 j + z3 k es
de modo que debemos calcular la integral
Puesto que el volumen V corresponde al interior de una esfera, centrada en el origen, de radio a parece natural hacer cambio de variable y utilizar las coordenadas esféricas, esto es
donde el dominio de las variables (r, f, q) es
y además
De modo que obtenemos la siguiente integral
puesto que x2 + y2 + z2 = r 2. Efectuando los cálculos, nos queda
Como podemos observar, el cálculo del flujo es analíticamente más manejable a través de la divergencia sobre el volumen. Veamos otro ejemplo.
Calcular el siguiente flujo
donde S es la superficie del sólido constituido por el plano z = 3x + 2 y el cilindro x2 + y2 = 4.
La divergencia del campo vectorial F = 2y i + 3z k es div F = 3. Por otro lado, para describir el volumen utilizaremos las coordenadas cilíndricas, esto es
y además
donde el dominio de las variables (r, q, z) está dado por
de modo que







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