Enero

Derivada Direccional


En el análisis matemático, la derivada direccional de una 
función multivariable sobre un vector dado, representa la 
tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. 
Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que 
estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos 
a los ejes.

Definición


Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación f(x, y)=x^2 + y^2, mostrando el vector gradiente en azul, y el vector unitario \vec{u}escalado por la derivada direccional en la dirección de \vec{u} en anaranjado. El vector gradiente es más largo porque apunta en la dirección de la mayor tasa de incremento de una función.

Definición general


La derivada direccional de 
f(\bold{x})=f(x_1, x_2, \ldots, x_n)

en la dirección del vector:
\vec{v} = (v_1,v_2, \ldots, v_n)

es la función definida por 
el límite:
D_{\vec{v}}{f} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}.

Si la función es diferenciable, 
puede ser escrita en término de 
su gradiente \nabla f
D_{\vec{v}}{f} = \nabla f \cdot \vec{v}
donde "\cdot" denota el producto 
escalar o producto 
punto entre vectores. En 
cualquier punto \bold{x}, la 
derivada direccional de f 
representa intuitivamente la 
tasa de cambio de f 
con respecto al tiempo cuando se está 
moviendo a una velocidad y dirección dada por \vec{v} en dicho 
punto.

Definición solo en la dirección de un vector

Algunos autores definen la derivada direccional con 
respecto al vector \vec{v} después de la normalización, ignorando 
así su magnitud. En este caso:
D_{\vec{v}}{f} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\bold{x} + h\bold{v}) - f(\bold{x})}{h|\bold{v}|}},
Si la función es diferenciable, entonces
D_{\vec{v}}{f} = \nabla f(\bold{x}) \cdot \frac{\bold{v}}{|\bold{v}|}
Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad 
está limitada a un vector de norma definida y no nula. 
Además es incompatible con la notación empleada en otras 
ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe 
utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento 
de f por unidad de distancia.

Restricción al vector unitario

Algunos autores restringen la definición de la derivada 
direccional con respecto a un vector unitario. Con esta 
restricción, las dos definiciones anteriores se convierten en 
una misma.

Demostración

El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el 
espacio tridimensional. Supóngase que existe una función 
diferenciable z = f(x,y)\;. La derivada direccional según la 
dirección de un vector unitario \mathbf{v} = (v_x,v_y) es:
\begin{align} D_\vec{v}f &= \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y+v_yh)+f(x,y+v_yh)-f(x,y)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y+v_yh)}{h} + \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x,y+v_yh)-f(x,y)}{h} \end{align}

El primero de estos límites puede calcularse mediante el 
cambio h' = v_xh\; lo cual lleva, por ser diferenciable la 
función1 f, a:
\lim_{h'\to 0} \cfrac{f(x+h',y+v_yh'/v_x)-f(x,y+v_yh'/v_x)}{h'/v_x} = \lim_{h'\to 0} v_x\frac{\part f(x,y+v_yh'/v_x)}{\part x} = v_x\frac{\part f(x,y)}{\part x}
Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
D_\vec{v}f = v_x\frac{\part f(x,y)}{\part x} + v_y\frac{\part f(x,y)}{\part y}
Resultado que trivialmente coincide con el producto 
escalar del gradiente por el vector \mathbf{v} = (v_x,v_y):
(\nabla f)\cdot\vec{v} = \left(\frac{\part f(x,y)}{\part x}, \frac{\part f(x,y)}{\part y} \right) \cdot (v_x,v_y) = \frac{\part f(x,y)}{\part x}v_x + \frac{\part f(x,y)}{\part y}v_y = D_\mathbf{v}f

Notaciones alternas


La derivada direccional puede ser denotada mediante los 
símbolos:

\nabla_{\bold{v}}{f}(\bold{x}) \sim \frac{\partial{f(\bold{x})}}{\partial{v}} \sim f'_\mathbf{v}(\bold{x}) \sim D_\bold{v}f(\bold{x}) \sim \mathbf{v}\cdot{\nabla f(\bold{x})} \sim \bold{v}\cdot \frac{\partial f(\bold{x})}{\partial\bold{x}}

donde \bold{v} es la parametrización de una curva para la cual \bold{v} 
es tangente y la cual determina su magnitud.

Propiedades


Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se 
mantienen en las derivadas direccionales. Estas incluyen, 
para cualquier pareja de funciones f y g definidas en 
la vecindad de un punto \bold{p}, donde son diferenciables:
  • Regla de la suma:

D_{\vec{v}} (f + g) = D_{\vec{v}} f + D_{\vec{v}} g

  • Regla del factor constante:

D_{\vec{v}} (cf) = cD_{\vec{v}} f

donde c es cualquier constante.


D_{\vec{v}} (fg) = g D_{\vec{v}} f + fD_{\vec{v}} g

  • Regla de la cadena: Si g es diferenciable en el punto \textstyle\bold{p} y h es diferenciable en g(p), entonces:

D_{\vec{v}}(h\circ g)(\bold{p}) = h'(g(\bold{p})) D_{\vec{v}} g (\bold{p})

Campos vectoriales


El concepto de derivada direccional no se puede generalizar 
a funciones de \mathbb{R}^m en \mathbb{R}^n, del tipo:
\mathbf{F}:A\subset\mathbb{R}^m \longrightarrow \subset\mathbb{R}^n

En este caso la derivada direccional de modo idéntico a 
como se hacía con funciones de una variable:
D_\mathbf{v}\mathbf{F} = \lim_{h\to 0} \frac{\mathbf{F}(\mathbf{x}+h\mathbf{v})-\mathbf{F}(\mathbf{x})}{h}

Una diferencia con el caso de funciones de reales de una 
variable es que la existencia de derivadas direccionales 
según todas las direcciones no implica necesariamente que 
una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable 
resulta que la aplicación:
\mathbf{v} \longmapsto D_\mathbf{v}\mathbf{F}
Es lineal y se cumple además es expresable en términos 
del jacobiano:
D_\mathbf{v}\mathbf{F} = (D\mathbf{F})\mathbf{v}

Funcionales


La derivada funcional, definida como derivada de Gâteaux, 
es de hecho una derivada direccional definida en general 
sobre un espacio vectorial de funciones.

Derivada direccional


Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de $\,z\,$ en el punto $\,(x_{0},y_{0})\,$ en la dirección de un vector unitario arbitrario $\,\overrightarrow{u}\, = \, (a, b)\,$. Para esto consideramos la superficie $\,S\,$ con ecuación $\,z\, = \, f(x, y)\,$ (la gráfica de $\,f\,$) y sea$\,z_{0} = f(x_{0}, y_{0})\,$. Entonces el punto $\,P = (x_{0}, y_{0},z_{0})\,$ está sobre $\,S\,$. El plano vertical que pasa por el punto $\,P\,$en la dirección del vector $\,\overrightarrow{u}\,$ interseca a la superficie $\,S\,$ en la curva $\,T\,$. La pendiente de la recta tangente $\,T\,$ a la curva $\,T\,$en el punto$\,P\,$es la tasa de cambio de $\,z\,$en la dirección de $\,\overrightarrow{u}\,$.
En la  liga [Ver en 3D-LG3D] de la figura1, se puede arrastrar con el mouse el punto $\,P\,$ y/o el vector $\,\overrightarrow{u}\,$ para observar como varía la tasa de cambio en $\,z\,$en la dirección de $\,\overrightarrow{u}\,$

Figura 1: derivada direccional en P en la dirección de u[Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview]

Si $\,Q = (x, y,z)\,$ es otro punto sobre la curva $\,T\,$, y si $\,P'\,$ y $\,Q'\,$ son las proyecciones sobre el plano $\,XY\,$de los vectores $\,P\,$ y $\,Q\,$, entonces el vector $\,\overrightarrow{P'Q'}\,$ es paralelo al vector $\,\overrightarrow{u}\,$, y por consiguiente
Figura 2: derivada direccional en P en la dirección de u

\begin{displaymath}\overrightarrow{P'Q'}\, = \, h\overrightarrow{u}\, = \, (ha, hb)\end{displaymath}

para algún escalar$\,h\,$. Así pues, 
$\,x - x_{0}\, = \, ha\Longrightarrow x\, = \, x_{0} + ha\,$
$\,y - y_{0}\, = \, hb\Longrightarrow y\, = \, y_{0} + hb\,$ 

y la razón de cambio está dada por
\begin{displaymath}\displaystyle{\frac{\Delta z}{h}\, = \, \frac{z - z_{0}}{h}\, = \, \frac{f(x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f(x_{0}, y_{0})}{h}}\end{displaymath}


y al tomar el límite cunado $\,h\longrightarrow 0\,$obtenemos la tasa de cambio instantanea de$\,z\,$ (con respecto a la distancia) en la dirección de $\,\overrightarrow{u}\,$, la cual se llama derivada direccional de$\,f\,$en la dirección de $\,\overline{u}\,$. 

VECTOR GRADIENTE

En cálculo vectorial, el gradiente \nabla f de un campo escalar f
es un campo vectorial. El vector gradiente de f evaluado en 
un punto genérico x del dominio de f, \nabla f(x), indica la 
dirección en la cual el campo f varía más rápidamente y su 
módulo representa el ritmo de variación de f en la dirección 
de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el 
operador diferencial nabla \nabla seguido de la función (cuidado 
de no confundir el gradiente con la divergencia, ésta última 
se denota con un punto de producto escalar entre el 
operador nabla y el campo). También puede representarse 
mediante \vec{\nabla} f, o usando la notación \operatorname{grad}(f). La generalización 
del concepto de gradiente a campos f vectoriales es el 
concepto de matriz Jacobiana.

Definición

Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto 
del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), 
entonces el vector gradiente en un punto genérico del 
espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará 
más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa 
de líneas de nivel de una montaña como campo escalar, 
que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un 
escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso 
el vector gradiente en un punto genérico indicará la 
dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que 
el vector gradiente será perpendicular a las líneas de 
contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se 
define como el campo vectorial cuyas funciones 
coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, 
esto es:
\boldsymbol{\nabla} f(\bold{r}) = \left(\frac{\partial f(\bold{r})}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f(\bold{r})}{\partial x_n } \right)
Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular 
fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer 
lugar la derivada direccional según un vector:
\frac{\partial \phi}{\partial \bold{n} } \equiv \lim_{\epsilon\to 0} \frac{\phi(\bold{r} - \epsilon \hat{\bold{n}})-\phi(\bold{r})}{\epsilon}
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el 
único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la 
derivada direccional del campo escalar:
\frac{\partial \phi}{\partial \bold{n} } = \bold{n}\cdot \boldsymbol{\nabla}\phi
Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de 
forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente 
mediante el uso del operador nabla:
{\rm grad}\ \phi = \nabla\phi

Interpretación del gradiente

De forma geométrica el gradiente es un vector que se 
encuentra normal (perpendicular) a la curva de nivel en el 
punto que se está estudiando, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, 
temperatura), etcétera. Algunos ejemplos son:
  • Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto (x, y, z) \,\!, la temperatura es \phi(x, y, z) \,\!. Asumiremos que la temperatura no varía con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuan rápido aumenta la temperatura en esa dirección.
  • Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se define como H(x, y). El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.

Propiedades

El gradiente verifica que:
  • Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por \phi\,\! =cte.
  • Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
  • Su norma es igual a esta derivada direccional máxima.
  • Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
  • El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,
\nabla\times(\nabla\phi) \equiv \vec{0}

A partir de su definición puede hallarse su expresión en 
cartesianas, su expresión es simplemente
\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z}
En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente 
requiere los factores de escala, mediante la expresión
\nabla\phi = \frac{1}{h_1}\frac{\partial \phi}{\partial q_1}\hat{q}_1 +\frac{1}{h_2}\frac{\partial \phi}{\partial q_2}\hat{q}_2+ \frac{1}{h_3}\frac{\partial \phi}{\partial q_3}\hat{q}_3
Para coordenadas cilíndricas (h_\rho=h_z=1, h_\varphi=\rho) resulta
\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+ \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z}
y para coordenadas esféricas (h_r=1, h_\theta=r, h_\varphi=r {\rm sen}\theta)
\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{\theta}+ \frac{1}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}
En un sistema de coordenadas curvilíneo general el 
gradiente tiene la forma:
\nabla\phi = g^{ij}\frac{\partial \phi}{\partial x^i}\hat{e}_j

donde en la expresión anterior se usa el convenio de 

Gradiente de un campo vectorial

En un espacio euclidiano tridimensional, el concepto de 
gradiente también puede extenderse al caso de un campo 
vectorial, siendo el gradiente de \scriptstyle \mathbf{F} un tensor que da el 
diferencial del campo al realizar un desplazamiento:
\frac{d\mathbf{F}}{d\mathbf{r}}(\mathbf{v}):= \lim_{\mathbf{v}\to 0} \frac{ \mathbf{F}(\mathbf{r}+\mathbf{v}) - \mathbf{F}(\mathbf{r}) }{\|\mathbf{v}\|} = (\nabla\mathbf{F})\cdot \mathbf{v}

Fijada una base vectorial, este tensor podrá representarse 
por una matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas está 
formada por las tres derivadas parciales de las tres 
componentes del campo vectorial. El gradiente de 
deformación estará bien definido sólo si el límite anterior 
existe para todo \scriptstyle \mathbf{v} y es una función continua de dicho vector.

Técnicamente el gradiente de deformación no es otra cosa 
que la aplicación lineal de la que la matriz jacobiana es su 
expresión explícita en coordenadas.

Ejemplos

1. Dada la función f(x,y,z)=2x+3y^2-\sin(z) su vector gradiente es el siguiente:
\nabla f= \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-\cos(z)} \end{pmatrix}.
2. Dada la función z(x,y)=x^2+2x+y^2+y^3+xy  su vector gradiente es el siguiente:
\nabla z= \begin{pmatrix} {\frac{\partial z}{\partial x}}, {\frac{\partial z}{\partial y}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2x+y+2}, {2y+3y^2+x} \end{pmatrix}.
3. Dada la función \xi(\alpha,\beta,\gamma)={\alpha}^4+e^{{\beta}^3+e^2 arctan {\gamma}}+{\gamma}^{2 \pi} su vector gradiente es el siguiente:
\nabla \xi= \begin{pmatrix} {\frac{\partial \xi}{\partial \alpha}}, {\frac{\partial \xi}{\partial \beta}}, {\frac{\partial \xi}{\partial \gamma}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {4{\alpha}^3 }, {3{\beta}^2 e^{{\beta}^3+e^2 arctan {\gamma}}}, {{\frac{e^2}{1+{\gamma}^2}}e^{{\beta}^3+e^2 arctan {\gamma}}+2 \pi {\gamma}^{2 \pi-1}} \end{pmatrix}.

Aplicaciones

Aproximación lineal de una función

El gradiente de una función f definida 
de Rn → R caracteriza la mejor aproximación lineal de la 
función en un punto particular x_0 en Rn. Se expresa así:
g(x) = f(x_0) + (\nabla_x f(x_0))^T (x-x_0)  donde \nabla_x f(x_0) es el 
gradiente evaluado en x_0

Aplicaciones en física

La interpretación física del gradiente es la siguiente: mide 
la rapidez de variación de una magnitud física al 
desplazarse una cierta distancia. Un gradiente alto significa 
que de un punto a otro cercano la magnitud puede presentar 
variaciones importantes (aquí se entiende por gradiente alto 
o grande uno tal que su módulo es grande). Un gradiente de 
una magnitud pequeño o nulo implica que dicha magnitud 
apenas varía de un punto a otro.

El gradiente de una magnitud física posee innumerables 
aplicaciones en física, especialmente 
en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, 
existen muchos campos vectoriales que puede escribirse 
como el gradiente de un potencial escalar.
\bold{E} = -\boldsymbol{\nabla}\phi
  • Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como:
\bold{F} = -\boldsymbol{\nabla} V
  • Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en un material es directamente proporcional al gradiente de temperaturas
\bold{q} = -k \boldsymbol{\nabla}T
siendo \scriptstyle k la conductividad térmica.


Maximos y Minimos

Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b) ³ f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define en manera parecida. f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro corte.
La función que se ilustra mas abajo tiene un mínimo relativo a (0, 0), un máximo relativo a (1, 1), y puntos de silla a (1, 0) y (0, 1).
En los casos que estudiamos, todos extremos relativos y puntos de silla que no sean en la frontera del dominio de f se ocurren a puntos críticos, que son las soluciones de las ecuaciones
fx(x,y) = 0
y
fy(x,y) = 0.
Prueba de segunda derivada para funciones de dos variables 
Si f(x, y) está una función de dos variables, y (a, b) es un punto crítico de f. (Esto es, fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.) Suponga también que existen y son iguales las derivadas del segundo orden, de modo que, por teoremas de cálculo, fxy es igual a fyx. Sea
H = fxx(a, b)fyy(a, b) -[fxy(a, b)]2.
Entonces
    f tiene un mínimo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) > 0,
    f tiene un máximo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) < 0, y
    f tiene un punto de silla a (a, b) si H < 0.
Si H = 0 la prueba no dice nada, entonces necesitamos analizar la gráfica para buscar más información.

Máximos y mínimos restringidos

Un problema restringido de optimización Tiene la forma
Maximiza (o minimiza) f(x, y,. . . ) sujeta a restricciones.
Las restricciones están en forma de ecuaciones o en forma de restricciones del dominio de f. Podemos resolver estos problemas por primero despejar una de las variables de las ecuaciones de restricción, para después sustituirla en f, y después ubicar el máximo (o mínimo) de la función que resulta. En casos en los que el dominio R de la función resultando tiene una frontera, tenemos también ubicar los extremos de f cuando se está restringido a la frontera.
Multiplicadores de Lagrange
Para localizar los candidatos a extremos relativos de una función f(x, y, . . .) sujeta a la restricción g(x, y, ...) = 0, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para obtener x, y, ... y λ:
fx = λgx
fy = λgy
    ...
g = 0
El incógnita λ se llama un multiplicador de Lagrange. Los puntos (x, y, . . .) que se ocurren in las soluciones son los candidatos a los extremos relativos de la función f sujeta a g = 0.

Ejemplos
1. Sea f(x, y) = x2 - (y-1) 2. Entonces fx(x,y) = 2x; fy(x, y) = -2(y-1). Para encontrar los puntos críticos, resolvemos la sistema
    2x = 0
    -2(y-1) = 0.
La primera ecuación produce x = 0, y la segunda da y = 1. Entonces, el único punto crítico es (0, 1). Como el dominio de f es el plano cartesiano entero, entonces el punto (0, 1) es interior, y entonces es un candidato a ser un extremo relativo o punto de silla.
Para comprobar cual, calcule primero las derivadas segundas:
    fxx(x, y) = 2
    fyy(x, y) = -2
    fxy(x, y) = fyx(x, y) = 0
Después calcule
    H=fxx(0, 1)fyy(0, 1) -[fxy(0, 1)]2
    =(2)(-2) -02 =- 4
Como H es negativo, tenemos un punto de silla a (0, 1). Aquí está la gráfica de f que muestra su ubicación.

Criterio de la segunda derivada

Sea f(x,y) con sus primeras y segundas derivadas 
parciales contínuas en un disco con centro en (a,b) 
y además fx(a,b) = 0  y  
fy(a,b) =0. 
  • Si D > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) es un mínimo local.
  • Si D > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) es un máximo local.
  • Si D < 0 en (a,b), entonces f(a,b) es un punto silla.
  • Si D = 0 en (a,b), el criterio no decide. En este caso debemos buscar otra forma de determinar el comportamiento de f en (a,b).
D, se conoce como discriminante o Hessiano de f.
Hessiano
Hessiano
Otra forma: D =  fxx(a,b)  fyy(a,b) –  fxy(a,b)  fyx (a,b)


Integrales Múltiples


Integrales Iteradas


Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales dx y dy.
Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en que orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa.

FORMAS EN QUE PUEDEN PRESENTARSE LAS INTEGRALES ITERADAS
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Área por Doble Integración

La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales
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Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir
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Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.


Integrales dobles


Definición geométrica de la integral doble 
La integral doble de f(x, y) en la región R del plano xy se define como
Rf(x, y) dx dy
= Volumen arriba de la región R y abajo de la gráfica de f
      - Volumen abajo de la región R y arriba de la gráfica de f.
La siguiente figura demuestra el volumen (en el caso que la gráfica de f está arriba de la región R).
Calculación de integrales dobles
Si R es el rectángulo a ≤ x ≤ b y c ≤ y ≤ d (vea la figura más abajo) entonces
Rf(x, y) dx dy =d

c		b

a		f(x, y) dxdy
=b

a		d

c		f(x, y) dydx
Si R es la región a ≤ x ≤ b y c(x) ≤ y ≤ d(x) (como se demuestra en la figura más abajo) entonces se calcula la integral en R con la siguiente ecuación:
Rf(x, y) dx dy =b

a		d(x)

c(x)		f(x, y) dydx
Si R es la región c ≤ y ≤ d y a(y) ≤ x ≤ b(y) (como se demuestra en la figura más abajo) entonces se calcula la integral en R con la siguiente ecuación:
Rf(x, y) dx dy =d

b		b(y)

a(y)		f(x, y) dxdy


Ejemplos
Si R es el rectángulo 1 ≤ x ≤ 2 y 1 ≤ y ≤ 3, entonces
Rx dx dy =
3

1		2

1		x dxdy
=
3

1
3

2
dy
= 3
Sea R la región definida por 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x (vea la figura)
Rx dx dy =
2

0		x

0		x dydx
=
2

0		xyx

y=0		dx
=
2

0		x2 dx=
8

3
Sea R la misma región que lo más arriba, pero esta vez descrita por 0 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2 (vea figura)
Rx dx dy =
2

0		2

y		x dxdy
=
2

0
x2

2
2

x=y		dy
=
2

0		2 -
y2

2
dy=
8

3

Integrales dobles como volúmenes

Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk)
"Ak en la suma Sn = Monografias.com
"Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como
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Coordenadas Polares

En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:
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Por ejemplo:

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Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.
El determinante jacobiano de la transformación es:
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Definición Integral triple


Es la aplicación sucesiva de tres procesos de integración definida simple a una función de tres variables f (x, y, z); tomando en consideración en función de que variable se encuentran los límites para saber cual diferencial (dx, dy, dz) se utilizará primero y cual después y cual al final.
Ejemplo.
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Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas


Coordenadas cilíndricas.

Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a el.
r = 4 Cilindro, radio 4, eje el eje z
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Plano que contiene al eje z
z= 2 Plano perpendicular al eje z
El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es
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Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son entonces evaluadas como integrales iteradas, como el siguiente ejemplo.
EJEMPLO.
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Solución
Paso 1: La base de D también es la proyección de la región R sobre el plano xy. La frontera de R es el
círculo
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Su ecuación en coordenadas polares es
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Paso 2: Los límites z de integración. Una recta M, que pasa por un punto típico (r, Monografias.com ) en R, paralela al eje z, entra a D en z=0 y sale en
Paso 3: Los límites r de integración. Un rayo L que pasa por (r, ) desde el origen, entra a R en r =0 y sale en
Paso 4: Los límites de integración. Al barrer L a través de R, el ángulo que forma con el eje x positivo varía de La integral es
Coordenadas esféricas.
Las coordenadas esféricas son apropiadas para describir con centro en el origen, medios planos articulados a lo largo de eje z y conos simples, cuyos vértices se encuentran en el origen, y con ejes a lo largo del eje z.
Las superficies como ésas tienen ecuaciones de valor coordenado constante:
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EJEMPLO.
El volumen es
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